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viernes, julio 05, 2013

Aplicaciones

Aplicaciones 

En matemáticas

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Un raíz o cero del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Variable compleja o análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro.

Ecuaciones diferenciales

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) \lambda\, del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma: f(x) = e^{\lambda x} \,.

En física 

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z=r e^{i \phi} \, podemos pensar en r\, como la amplitud y en \phi \, como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma f(t)=z e^{i \omega t} \, donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.


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Valor absoluto o módulo de un número complejo

 

 

 

 

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:



|z| = \sqrt{z z^*} = \sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto
  \left| z \right| = 0 \Longleftrightarrow z = 0
\left| z + w \right| \leq |z| + |w|
\left| zw \right| = |z||w|
\left| z - w \right| \ge |z| - |w|
para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

 

Argumento
El argumento principal o fase de un número complejo genérico z=x+yi\, (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente expresión:
\phi = \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{atan2}(y,x)
donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:
\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\ \text{indefinido} & \qquad y = 0, x = 0 \end{cases}
O también: \operatorname{atan2}(y, x) =\frac \pi2 \sgn(y)-\arctan\left(\frac x y\right)\quad\forall x,y \in \mathbb R Siendo:
\sgn(y)=\begin{cases} 1 \qquad y \ge 0 \\ -1 \qquad y < 0\\ \end{cases}

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como \bar{z} ó z^* \,\!) es un nuevo número complejo, definido así:
\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:
\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}
z+\overline{z} = 2\cdot \hbox{Re}(z)
z-\overline{z} = 2i\cdot \hbox{Im}(z)
\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}
z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \bar{z} = z
|z|^2 = z\bar{z}
z \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}
Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.







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NUMEROS COMPLEJOS EN EL PLANO CARTESIANO



Localizar un número complejo sigue las mismas reglas que localizar un punto específico en el plano cartesiano: comienzas en el origen (0, 0), te mueves a la izquierda (negativo) o derecha (positivo) para localizar x; y luego arriba o abajo para y. La única diferencia es que expresamos el punto como un complejo.

Asi mismo para hallar el valor absoluto de un numero complejo, nos valemos de ya conocida ley de pitagoras, en la cual nuestra incógnita será calcular la hipotenusa.
|3 + 8i| = sqrt (3² + 8²) = sqrt (9 + 64) = sqrt (73) ≈ 8.55
|-11| = 11
|-6 - 4i| = sqrt (6² + 4²) = sqrt (36 + 16) = sqrt (52) ≈ 7.21
|7 - 7i| = sqrt (7² + 7²) = sqrt (49 + 49) = sqrt (98) ≈ 9.90

El plano cartesiano es de gran utilidad para realizar sumas y restas de números complejos, representandolos como vectores
  • Para ambos casos comienzas en el punto a + bi (el primer número complejo). 
  • Cuando estás sumando, te trasladas c pasos, con la dirección provista por el signo que tenga c, sea positivo (derecha) o negativo (izquierda). Luego te mueves d pasos hacia arriba (si d es positivo) o abajo (si d es negativo)
  •  Ejemplo: (3 - 11i) + (-12 + 6i)
como se puede observar, finalmente la respuesta vendria dada si unimos el ultimo punto del vector con el origen.

Para obetner mayor información, puede acceder al siguiente enlace: Representación gráfica de números complejos

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