Numeros complejos: Valor absoluto o módulo de un número complejo

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

$|z| = \sqrt{z z^*} = \sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}$

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e^iφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

$\left| z \right| = 0 \Longleftrightarrow z = 0$

$\left| z + w \right| \leq |z| + |w|$

$\left| zw \right| = |z||w|$

$\left| z - w \right| \ge |z| - |w|$

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Argumento

El argumento principal o fase de un número complejo genérico $z=x+yi\,$ (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente expresión:

$\phi = \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{atan2}(y,x)$

donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

$\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\ \arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\ +\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\ \text{indefinido} & \qquad y = 0, x = 0 \end{cases}$